An iterated random function with Lipschitz number one

Рассмотрим множество функций $f_\theta(x)=|\theta-x|$ на $R$. Определим марковский процесс, который стартует в точке $x_0\in R$ и далее определяется по формуле $x_{k+1}=f_{\theta_{k+1}}(x_k)$, где $\theta_{k+1}$ имеет фиксированное ограниченное распределение $\mu$ на $\mathbf{R^+}$. Мы доказываем гипотезу Ж. Летака (G. Letac) о том, что если $\mu$ не сосредоточено на решетке, то марковский процесс имеет единственное стационарное распределение $\pi_{\mu}$ и любое распределение сходится при итерациях к $\pi_{\mu}$ (в слабой-* топологии). Мы также приводим оценку для скорости сходимости в частном случае, когда $\mu$ сосредоточено в двух точках. Эта техника может применяться для изучения других марковских процессов, переходные функции которых имеют число Липшица, равное единице.