Предельно эргодические марковские функционалы от эргодического процесса
Д. Алимов Туркменский политехнический институт, Ашгабат, Туркменистан
Аннотация:
Пусть
$X(t)$ – однородный марковский эргодический процесс, заданный
на фазовом пространстве
$(E,\mathcal{B})$ и имеющий инвариантное
распределение
$\pi(\,\cdot\,)$, а
$\{\xi_n(t)\}$ – последовательность обрывающихся
марковских функционалов с моментами обрывов
$\{\zeta_n\}$ и со множеством
значений
$I=\{1,2,\dots,d\}$, сходящаяся к тривиальному функционалу
со стационарным распределением
$\rho(\,\cdot\,)$. Указаны условия, при
выполнении которых найдется последовательность
$\varepsilon_n\to+0$, для которой
справедливость соотношения
$\mathbf{P}_{\pi,\rho}\{\zeta_n<\infty\}>0$ при всех достаточно
больших
$n$ влечет сходимость
$$
\lim_{n\to\infty}\mathbf{P}_{x,i}\biggl[\varphi\biggl(X\biggl(\frac t {\varepsilon_n}\biggr)\biggr),\varepsilon_n\biggl(\frac t{\varepsilon_n}\biggr)=j\biggr]=e^{-t}\rho(j)\int_E\pi(dy)\varphi(y)
$$
для любых
$t\ge0$,
$x\in E$,
$i,j\in I$ и всех непрерывных ограниченных
функций
$\varphi(y)$,
$y\in E$.
Ключевые слова:
обрывающиеся марковские функционалы, тривиальные марковские функционалы, эргодические процессы, эргодическая теорема.
Поступила в редакцию: 03.12.1990