Л. Е. Дубинс, Л. А. Шепп, А. Н. Ширяев, “Оптимальные правила остановки и максимальные неравенства для процессов Бесселя”, Теория вероятн. и ее примен., 1993, том 38, выпуск 2,страницы 288

Эта публикация цитируется в 81 статьях

Оптимальные правила остановки и максимальные неравенства для процессов Бесселя

Л. Е. Дубинс^a, Л. А. Шепп^b, А. Н. Ширяев^c

^a Department of Mathematics, University of California, Berkeley, CA, USA
^b AT&T Bell Laboratories, Murray Hill, New Jersey, USA
^c Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, Москва, Россия

Аннотация: Для процессов Бесселя, $X\in\operatorname{Bes}^{\alpha}(x)$, произвольного порядка (размерности) $\alpha\in\mathbf{R}$, рассматривается задача об оптимальной остановке (1.4), для которой выигрыш определяется величиной максимума процесса $X$ и стоимостью, пропорциональной длительности времени наблюдения. Дается описание структуры оптимального правила остановки (теорема 1) и цены (теорема 2). Эти результаты используются для вывода максимальных неравенств вида
$$ \mathbf{E}\max_{r\le\tau}X_{\tau}\le\gamma(\alpha)\sqrt{\mathbf E\tau}, $$
где $X\in\operatorname{Bes}^{\alpha}(0)$, $\tau$ – произвольный момент остановки, $\gamma(\alpha)$ – константа, зависящая от размерности (порядка) $\alpha$. Показывается, что $\gamma(\alpha)\sim\sqrt{\alpha}$ при $\alpha\to\infty$.

Ключевые слова: процессы Бесселя, оптимальные правила остановки, максимальные неравенства, задача с подвижными границами для параболических уравнений (задача Стефана), локальные мартингалы, семимартингалы, процессы Дирихле, локальное время, процессы с отражением, броуновское движение со сносом и отражением.

Поступила в редакцию: 02.10.1992