On Coupling of Brownian Bridges

Пусть $\{B(t),\ 0\ge t\le 1\}$ — броуновский мост и $Y(t)=\int_0^t f(u)\,dB(u)$, где $f\colon[0,1]\to\{+1,-1\}$, — неслучайная измеримая функция. Тогда задача: "Существует ли броуновский мост $B^*$ такой, что $|Y(t)|\ge |B^*(t)|$ п.н., $0\ge t\leq 1$?" имеет положительное решение. В статье доказывается, что в качестве $B^*$ можно взять
$$ B^*(t)=\begin{cases} Y(t),&0\le t\le\tau,\\ B(t),&\tau\le t\le 1,\ Y(\tau)=+B(\tau),\\ -B(t),&\tau\le t\le 1,\ Y(\tau)=-B(\tau), \end{cases} $$
где $\tau=\max\{t\ge 0:|Y(t)|=|B(t)|\}$.
Обсуждается также положительный ответ на вопрос о существовании броуновского моста $B_*$ такого, что $\max_{0\le t\ge 1}|B_*(t)|=\max_{0\le t\ge 1}\{|X_+(t)|\vee|X_-(t)|\}$; где $X_+(t)=\int_0^t 1\{f=+1\}(u)\,dB(u)$, $X_-(t)=\int_0^t 1\{f=-1\}(u)\,dB(u)$, $0\le t\ge 1$.
В качестве следствия этих построений мы получаем строгое неравенство, сравнивающее распределения величин $\max_{0\le t\ge 1}|B(t)|$ и $\max_{0\le t\ge 1}|Y(t)|$.