Эта публикация цитируется в
3 статьях
Краткие сообщения
Диффузионная модель разорения. Асимптотический анализ
Ф. К. Клебанерa,
Р. Ш. Липцерb a Tel Aviv University, Department of Electrical Engineering-Systems
b Tel Aviv University
Аннотация:
Изучается вероятность поглощения
$\mathbf{P}(\tau_0\le T)$ на интервале
$[0,T]$, где
$ \tau_0=\inf\{t:X_t=0\}$ и
$X_t$ — неотрицательный диффузионный процесс относительно броуновского движения
$B_t$:
$$
dX_t=\mu X_t\,dt+\sigma X^\gamma_t\,dB_t,\qquad X_0=K>0.
$$
Диффузионный коэффициент
$\sigma x^\gamma$,
$\gamma\in[{1}/{2},1)$, не удовлетворяет условию Липшица и тем самым обеспечивает выполнение неравенства
$\mathbf{P}(\tau_0\le T)>0$. Наш основной результат:
$$
\lim_{K\to\infty}\frac{1}{K^{2(1-\gamma)}}\ln\mathbf{P}(\tau_{0}\le T)=-\frac{1}{2\mathbf{E}\,M^2_T},
$$
где $M_t=\int_0^t\sigma(1-\gamma)e^{-(1-\gamma)\mu s}dB_s$. Кроме того, мы даем описание наиболее вероятной траектории поглощения нормированного процесса
${X_t}/{K}$ при
$K\to\infty$.
Ключевые слова:
диффузионный процесс, вероятность поглощения, принцип больших уклонений.
Поступила в редакцию: 15.04.2010
DOI:
10.4213/tvp4205