A theorem on factorial moments in the multidimensional case

Работа содержит обобщение теоремы Кришна Аиера ([1]) о факториальных моментах на многомерный случай.
Пусть события $A_{ij}$ ($i=1,2,\dots,k,k+1$; $j=1,2,\dots,n$) удовлетворяют условиям $A_{ij}A_{mj}=\phi$, если $i\ne m$ и $\bigcup_{i=1}^n A_{ij}=\Omega$ для $j=1,2,\dots,n$. Пусть $X_{ij}=1_{A_{ij}}$, где $1_A$ — индикатор события $A$, $X_i=\sum_{i=1}^n X_{ij}$. Тогда факториальный момент $\alpha_{[r_1,r_2,\dots,r_k]}$ случайного вектора $(X_1,X_2,\dots,X_k)$, т.е. $\mathbf{E}(X_1^{[r_1]} X_2^{[r_2]}\dots X_k^{[r_k]})$, выражается формулой (10).
Доказательство этой теоремы основано на применении формулы (3).
Полученный результат применяется к некоторым конкретным распределениям.