Соболевская регулярность транспортировки вероятностных мер и транспортные неравенства

В работе изучаются соболевские априорные оценки для оптимальной транспортировки $T = \nabla \Phi$ вероятностных мер $\mu=e^{-V}dx$ и $\nu=e^{-W}dx$ на $\bf{R}^d$. В предположении равномерной выпуклости потенциала $W$ в работе доказано, что величина $\int \| D^2 \Phi\|^2_{\rm{HS}} \, d\mu$, где $\|\cdot\|_{\rm{HS}}$ — норма Гильберта–Шмидта, ограничена информацией Фишера меры $\mu$. Помимо этого доказаны близкие оценки для $L^p(\mu)$-нормы $\|D^2 \Phi\|$ и получены $L^p$-обобщения известной теоремы Каффарелли о сжатии. Установлена связь между результатами настоящей статьи и транспортным неравенством Талаграна. Также доказаны не зависящие от размерности версии данного неравенства для информации Фишера относительно гауссовских мер.