Эта публикация цитируется в
9 статьях
Моментные оценки точности нормальной аппроксимации с уточненной структурой для сумм независимых симметричных случайных величин
И. Г. Шевцова Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, факультет вычислительной математики и кибернетики
Аннотация:
Для равномерного расстояния
$\Delta_n$ между функцией распределения стандартного нормального закона и функцией распределения нормированной суммы
$n$ независимых случайных величин
$X_1,\ldots,X_n$ с симметричными функциями распределения
$F_1,\ldots,F_n$ и
$\mathbf{E}\,|X_j|=\beta_{1,j}$,
$\mathbf{E}\,X_j^2=\sigma_j^2$,
${j=1,\ldots,n}$, при всех
$n\geq 1$ и
$c\geq 0$
доказаны оценки
$$
\Delta_n\leq \frac{1/2+\varkappa+c}{\sqrt{2\pi}}\,\ell_n +
\frac{1/2-\varkappa-c}{\sqrt{2\pi}B_n^3}
\sum_{j=1}^n\beta_{1,j}\,\sigma_j^2
+
\begin{cases}
4\ell_n^{7/6}\wedge A(c)\ell_n^{4/3}&\text{в общем случае,}\\
2\ell_n^{3/2}\wedge A(c)\ell_n^2, &\text{если $F_1=\cdots=F_n$},
\end{cases}
$$
где
$B_n^2=\sum_{j=1}^n\sigma_j^2,$ $\ell_n=B_n^{-3}\sum_{j=1}^n\,\mathbf{E}\,|X_j|^3$, $\varkappa=\sup_{x>0}(\cos x-1+x^2/2)/x^3=0.0991\ldots,$
функция
$A(c)$ не ограничена при
$c\rightarrow 0$, монотонно убывает, принимая конечные значения при всех
$c>0$, и указана в явном виде, символом
$\wedge$ обозначен минимум. Обсуждается вопрос
оптимальности константы
$(1/2+\varkappa)/\sqrt{2\pi}=0.2390\ldots$ в первом слагаемом, соответствующей значению
$c=0$. Полученные оценки уточняют известные результаты В. Бенткуса (1991, 1994) (при
$c=\varkappa$) и Г. П. Чистякова (1996, 2001) (при
$c=1/2-\varkappa=0.4008\ldots$). Также доказаны аналогичные результаты для случая, когда симметричные случайные слагаемые имеют
абсолютные моменты только порядка
$2+\delta$ с некоторым
$0<\delta<1$.
Ключевые слова:
центральная предельная теорема, оценка скорости сходимости, нормальная аппроксимация, неравенство Берри–Эссеена, асимптотически правильная константа. Поступила в редакцию: 14.03.2012
DOI:
10.4213/tvp4463