О времени достижения высокого уровня случайным блужданием в случайной среде

Пусть задана последовательность независимых одинаково распределенных пар случайных величин $(p_{i}, q_{i}) $, $i\in \mathbf{Z}$, причем $p_{0}+q_{0}=1$ и п.н. $p_{0}>0$, $q_{0}>0$. Рассматривается случайное блуждание в случайной среде $(p_{i},q_{i}) $, $i\in \mathbf{Z}$. Это означает, что при фиксированной случайной среде блуждающая частица совершает переход из состояния $i$ либо в состояние $(i+1)$ с вероятностью $p_{i}$, либо в состояние $(i-1)$ с вероятностью $q_{i}$. Предполагается, что случайная величина $\ln (q_{0}/p_{0})$ принадлежит (без центрирования) области притяжения некоторого устойчивого (и не являющегося односторонним) закона с индексом $\alpha \in (0,2] $. Пусть $T_{n}$ означает время достижения уровня $n$ указанным блужданием. Доказан принцип инвариантности для логарифма случайного процесса $\{T_{\lfloor ns\rfloor},s\in [0,1] \}$ при $n\rightarrow \infty$. Этот результат получен на основе предельной теоремы для ветвящегося процесса в случайной среде с одним иммигрантом в каждом поколении.