On asymptotic expansion and CLT of linear eigenvalue statistics for sample covariance matrices when $N/M\rightarrow0$

В работе изучается перенормированная вещественная выборочная ковариационная матрица $H=X^TX/\sqrt{MN}-\sqrt{M/N}$, где $N/M\rightarrow0$ при $N, M\rightarrow \infty$. Мы всегда предполагаем, что $M=M(N)$. Здесь $X=[X_{jk}]_{M\times N}$ есть вещественная случайная $M\times N$-матрица с независимыми одинаково распределенными элементами и мы предполагаем, что $\mathbf{E}\,|X_{11}|^{5+\delta}<\infty$ при некотором малом положительном $\delta$. Рассматривается преобразование Стилтьеса $m_N(z)=N^{-1}{\rm Tr}\,(H-z)^{-1}$ и линейная статистика собственных значений матрицы $H$. Основное внимание уделяется асимптотическому разложению функции $\mathbf{E}\,\{m_N(z)\}$. Затем для некоторой хорошей тестовой функции устанавливается центральная предельная теорема. Мы показываем, что дисперсия предельного нормального распределения такая же, как в случае вещественной матрицы Вигнера с гауссовскими элементами.