Асимптотика супремума взвешенных гауссовских полей с приложениями к ядерным оценкам плотностей

Для центрированных стационарных гауссовских полей $X(s)$, $s\in\mathbf R^d$, $d>1,$ мы показываем, что специальным образом центрированный и нормированный супремум $\sup_{s\in \mathbf R^d}w(s/T)|X(s)|$ с неотрицательной весовой функцией $w$ при $T\to\infty$ сходится по распределению к двойному экспоненциальному закону, если $w$ и ковариационная функция процесса $X$ удовлетворяют определенным условиям гладкости и регулярности. Эта предельная теорема обобщает результаты для компактных множеств без весовой функции, полученные ранее в [11].
Затем этот новый результат для гауссовских полей применяется для нахождения необходимых и достаточных условий для сходимости по распределению к двойному экспоненциальному закону специальным образом центрированной и нормированной последовательности $\sup_{x\in\mathbf R^d}|\Psi(x)(\widehat{f}_n(x)-\mathbf E\widehat{f}_n(x))|$ при естественных условиях гладкости (здесь $\widehat{f}_n$ обозначает ядерную оценку ограниченной непрерывной плотности $f$ на $\mathbf R^d$, построенную по выборке размера $n$, а $\Psi$ — положительная непрерывная функция такая, что $\sup_{x\in\mathbf R^d}|\Psi(x) f(x)^\beta|<\infty$ для некоторого $\beta\in (0, 1/2)$).
Данная статья обобщает результаты недавней работы [4] на случай $d>1$. Она также обобщает результаты работы [12] для $\Psi(\cdot)=f^{-1/2}(\cdot)I_S(\cdot)$ с некоторым компактным множеством $S$ из $\mathbf R^d$ на общий класс функций $\Psi$. Пример практического применения завершает данную работу.