Теорема о преобразовании свободного выбора для деформированных субмартингалов

Рассматривается семейство $\mathbf Q=(Q^{(n)}, \mathscr{F}_{n})_{n=0}^{\infty}$ вероятностных мер $Q^{(n)}$, определенных на $\mathscr{F}_{n}$, называемое деформацией 1-го рода, если при всех $n\in \{0,1,2,\dots\}$ $Q^{(n+1)}|_{\mathscr{F}_{n}}\ll Q^{(n)}$, и деформацией 2-го рода, если $Q^{(n+1)}|_{\mathscr{F}_{n}}\gg Q^{(n)}$. Для конечных моментов остановки вводятся меры $Q^{(\tau)}$ по формуле $Q^{(\tau)}(A)=\sum_{i=0}^\infty Q^{(i)}(A\{\tau=i\})$, где $A\in\mathscr{F}_{\tau}$. С помощью этих мер формулируется и доказывается обобщение теоремы Дж. Л. Дуба о преобразовании свободного выбора: для деформированных субмартингалов 1-го рода (в случае соседних моментов остановки) и 2-го рода (в случае ограниченно удаленных друг от друга моментов остановки).