Устойчивость характеризации независимости случайных величин по независимости линейных статистик

Пусть $(X_1, Y_1),\dots,(X_N,Y_N)$ — независимые одинаково распределенные двумерные векторы. Будет доказано, что если статистики $L_{\mathbf X}=\beta_1 X_1+\cdots+\beta_NX_N$ и $L_{\mathbf Y}=\beta_1Y_1+\cdots+\beta_NY_N$ являются $\varepsilon$-независимыми, то при некоторых условиях ${\mathbf X=(X_1,\dots, X_N)}$ и ${\mathbf Y}=(Y_1,\dots,Y_N)$ являются $\varepsilon^\alpha$-независимыми для некоторого $\alpha>0$.