Краткие сообщения
Maximum inequalities for rearrangements of summands and assignments of signs
S. A. Chobanyana,
Sh. Leventalb,
H. Salehib a Muskhelishvili Institute of Computational Mathematics
b Michigan State University, Department of Statistics and Probability
Аннотация:
В статье изучается взаимосвязь между расстановками знаков и перестановками слагаемых в форме вероятностных максимальных неравенств. Взаимосвязь основана на лемме, сводящей задачу о перестановках к задаче о выборе знаков. Наряду с упрощением известных доказательств, она позволяет находить новые факты, а также решения в более общих постановках. Одним из главных результатов статьи является следующее неравенство. Пусть
$x_1,\dots , x_n$,
$\sum_{k=1}^n x_k =0,$ — набор элементов нормированного пространства
$X$. Тогда для любого набора знаков
$\theta = (\theta_1 , \ldots, \theta_n)$ и любого
$t>0$
$$
\bf P \biggl\{\pi: \max_{1\le k \le n} \biggl\Vert\sum_1^k x_{\pi(i)}\biggr\Vert > t\biggr\} \le C\mathbf P\biggl\{\pi: \max_{1\le k \le n}\biggl\Vert\sum_1^k x_{\pi (i)}\theta_i\biggr\Vert> \frac {t}{C}\biggr\},
$$
где
$\pi\in \Pi_n$,
$\Pi_n$ — группа всех перестановок отрезка
$\{1,\dots,n\}$,
$\mathbf P $ — равномерное распределение на
$\Pi_n$ и
$C$ — абсолютная константа. Приведенное неравенство неулучшаемо (обратное неравенство также справедливо с некоторой другой абсолютной константой). Оно обобщает известные результаты Гарсия, Морэ и Пизье, Кашина и Саакяна, Чобаняна и Салехи, и Левенталя. Все результаты настоящей статьи могут быть сформулированы на языке перестановочных случайных величин.
Ключевые слова:
перестановки слагаемых, расстановки знаков, вероятностные максимальные неравенства, перестановочные случайные величины.
Поступила в редакцию: 11.08.2011
Исправленный вариант: 30.06.2014
Язык публикации: английский
DOI:
10.4213/tvp4598