О проверке гипотезы, близкой к простой

Пусть наблюдается $n$-мерный гауссовский вектор $x=v+\xi$, где $v\in{\mathbb R}^n$ – неизвестный вектор средних, $\xi$ – стандартный $n$-мерный гауссовский вектор. При $n\to\infty$ рассматривается асимптотически минимаксная задача проверки гипотезы $H_0:\|x\|_p\le R_{n,0}$ против альтернативы $H_1:\|x\|_p\ge R_{n,1}$. Известно [3], что при простой гипотезе $H_0$ (т.е. при $R_{n,0}=0$) условия минимаксной различимости и неразличимости имеют вид $R_{n,1}/R^*_{n,1,p}\to\infty$, $R_{n,1}/R^*_{n,1,p}\to0$ соответственно и выражаются в терминах “критических радиусов” $R^*_{n,1,p}$. Нас интересует вопрос: сколь малым может быть $R_{n,0}$ для сохранения этих условий различимости и неразличимости?
Ответ имеет вид $R_{n,0}=o(R^*_{n,0,p})$ и выражается в терминах “критических радиусов” $R^*_{n,0,p}$, вид которых зависит от четности $p$. В частности, показатель степени “критических радиусов” $R^*_{n,0,p}$ как функция от $p$ имеет разрыв слева при четных $p>2$; кроме того, $R^*_{n,0,p}\asymp R^*_{n,1,p}$, лишь если $p$ четно. Эти результаты переносятся на модель, соответствующую наблюдениям неизвестного сигнала $f$ из Соболевского или бесовского класса в гауссовском белом шуме.
Аналогичные эффекты в задаче оценивания функционала $\Phi(f)=\|f\|_p$ были недавно установлены в работе [12].