On a Sojourn Time Problem

Пусть $\{\xi (t),0\leq t<\infty\}$ – вероятностный процесс такой, что величины $\xi(t)$ принимают два значения $0$ и $1$. Пусть Let $\xi_1,\eta_1,\xi_2,\eta_2,\dots$ – промежутки времени, проводимые последовательно в состояниях $0$ и $1$. Предположим, что $\xi_1,\eta_1,\xi_2,\eta_2,\dots$ – независимые, случайные величины с функциями распределения $\mathbf P\{\xi_n<x\}=G(x)$ и $\mathbf P\{\eta_n\leq x\}=H(x)$. Пусть
$$\beta(t)=\int_0^t\xi(u)\,du$$
задает время, проведенное системой в состоянии $1$. В работе изучается асимптотическое распределение случайной величины $\beta (t)$ при $t\to\infty$, при различных предположениях об асимптотическом поведении сумм $\zeta_n=\xi_1+\xi_2+\cdots+\xi_n$ и $\chi_n=\eta_1+\eta_2+\cdots+\eta _n$ при $n\to\infty$. При этом существенно используется особый прием, позволяющий сводить изучение величины $\beta(t)$ к изучению суммы случайного числа независимых случайных величин.