On a Stochastic Process Concerning Some Waiting Time Problems

Рассматривается следующая вероятностная схема: $m$ машин обслуживаются одним оператором. В исправном состоянии машины работают непрерывно в течение некоторого времени $0<t<\infty$, однако в любой момент каждая из машин может остановиться и потребовать обслуживания. Предполагается, что вероятность того, что работающая в момент $t$ машина потребует обслуживания в интервале времени $(t,t+\Delta t)$, равна $\mu\Delta t+O(\Delta t)$. Машины работают независимо одна от другой. Если машина остановилась, то она немедленно обслуживается, если только оператор не занят обслуживанием другой машины. В последнем случае вышедшая из строя машина становится в очередь, в порядке которой она и обслуживается. Промежутки времени, нужные для обслуживания машины, являются случайными величинами, независимыми и одинаково распределенными.
Пусть $\eta(t)$ – число машин, работающих в момент времени $t$, а $\chi(t)$ – промежуток времени от момента $i$ до окончания обслуживания машины, обслуживаемой в момент времени $t$. В работе показывается, что величины $\eta(t)$ и $\chi(t)$ имеют при $t\to\infty$ предельные распределения, не зависящие от начальных условий. Находятся явные формулы для этих предельных распределений. Находится также предельное распределение для числа работающих машин в момент начала обслуживания машины. Наконец, для стационарного случая изучается функция распределения для промежутка времени от остановки машины до начала ее обслуживания.