Rough boundary trace for solutions of $Lu=\psi(u)$

Пусть $L$ – эллиптический дифференциальный оператор второго порядка на $\mathbb{R}^d$, в наших предыдущих работах, и пусть $E$ – ограниченная область в $\mathbb{R}^d$ с гладкой границей $\partial E$. С каждым положительным решением полулинейного дифференциального уравнения $Lu=\psi(u)$ в $E$ связана пара $(\Gamma,\nu)$, где $\Gamma$ – замкнутое подмножество $\partial E$ и $\nu$ есть мера Радона на $O=\partial E\setminus\Gamma$. Мы называем эту пару грубым (rough) следом решения на $\partial E$. (В [6] был введен тонкий (thin) след, который позволяет различать решения с одинаковым грубым следом.)
Случай $\psi(u)=u^{\alpha}$ с $\alpha>1$ был исследован с помощью различных методов Легаллом (Le Gall), Дынкиным и Кузнецовым, а также Маркусом и Вероном. В настоящей статье мы рассматриваем широкий класс функций $psi$ и существенно упрощаем доказательства, содержащиеся в наших предыдущих работах.