Плотность распределения коммутанта случайных вращений трехмерного евклидова пространства
Ф. М. Малышев Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Аннотация:
На группе
$SO(3)$ вращений трехмерного евклидова пространства определена базовая мера
$\mu$,
отвечающая произведению равномерных распределений на множествах осей поворотов и углов поворотов.
Рассматриваются три плотности распределений относительно
$\mu: \rho_0$ — плотность лево- и право-инвариантной меры (меры Хаара);
$\rho_1$ — плотность распределения вращений
$\Lambda^k, k\ge 2$, когда
$\Lambda$ — случайное вращение с плотностью распределения
$\rho_0$;
$\rho_2$ — плотность распределения коммутанта
$\Lambda_1^{-1}\Lambda_2^{-1}\Lambda_1\Lambda_2$, когда
$\Lambda_1$,
$\Lambda_2$ — случайные независимые вращения с плотностями распределения
$\rho_0$. Показывается, что $\rho_2\equiv\sqrt{\rho_0\rho_1}{\pi\sqrt{2}}/{4}$, а мера
$\mu_1$ с плотностью
$\rho_1$ пропорциональна базовой мере
$\mu$.
Ключевые слова:
мера Хаара, плотность, группа вращений, евклидово пространство, коммутант.
Поступила в редакцию: 02.02.2015
DOI:
10.4213/tvp5058