Improvements of Plachky–Steinebach theorem

Показано, что справедливо утверждение теоремы Плакки–Штайнебаха для интервалов вида $]\overline{L}_r'(\lambda),y[$, где $\overline{L}_r'(\lambda)$ — правосторонняя производная (но необязательно сама производная) обобщенной $\mathrm{log}$-моментной производящей функции $\overline{L}$ с некоторыми $\lambda> 0$ и $y\in\,]\overline{L}_r'(\lambda),+\infty]$ при выполнении только следующих двух условий: (a) $\overline{L}'_r(\lambda)$ является предельной точкой множества $\{\overline{L}'_r(t)\colon t>\lambda\}$, (b) $\overline{L}(t_i)$ имеет предел при $t_i$, принадлежащей некоторой убывающей последовательности, сходящейся к $\sup\{t>\lambda\colon\overline{L}_{|]\lambda,t]}\ \text{аффинно}\}$. Заменяя $\overline{L}_r'(\lambda)$ на $\overline{L}_r'(\lambda^+)$, приведенный выше результат можно дословно перенести на случай $\lambda=0$ (заменяя (a) на непрерывность справа $\overline{L}$ в нуле, когда $\overline{L}_r'(0^+)=-\infty$). Никаких ограничений не налагается на $\overline{L}_{]-\infty,\lambda[}$ (например, $\overline{L}_{]-\infty,\lambda[}$ может быть константой $+\infty$, когда $\lambda=0$); $\lambda\ge 0$ может быть точкой, в которой не дифференцируема функция $\overline{L}$, и даже предельной точкой точек недифференцируемости $\overline{L}$; $\lambda=0$ может быть точкой разрыва слева и справа у функции $\overline{L}$. Отображение $\overline{L}_{|]\lambda,\lambda+\varepsilon[}$ может не быть строго выпуклым для всех $\varepsilon>0$. Если мы откажемся от предположения (b), то же самое утверждение выполняется с верхними пределами вместо пределов. Кроме того, сказанное выше справедливо и для общих сетей $(\mu_\alpha,c_\alpha)$ борелевских вероятностных мер и степеней (вместо последовательности $(\mu_n,n^{-1})$) и с заменой интервалов $]\overline{L}_r'(\lambda^+),y[$ на $]x_\alpha,y_\alpha[$ или $[x_\alpha,y_\alpha]$, где $(x_\alpha,y_\alpha)$ — любая сеть такая, что $(x_\alpha)$ сходится к $\overline{L}_r'(\lambda^+)$ и $\liminf_\alpha y_\alpha>\overline{L}_r'(\lambda^+)$.