Asymptotic efficiency of the maximum likelihood estimator

Пусть $f(\cdot\mid\theta)$ — плотность распределения, задаваемая параметром $\theta$ и подчиняющаяся некоторым условиям регулярности, которые здесь не приводятся, но одним из следствий которых является стремление распределения нормализованной оценки максимального правдоподобия $\sqrt n(\hat\theta_n-\theta)$ к нормальному распределению с нулевым средним. Пусть $\{T_n\}$ — последовательность оценок, удовлетворяющая лишь следующему условию: распределение $\sqrt n(T_n-\theta)$ стремится к предельному распределению $L(\cdot\mid\theta)$ равномерно по $\theta$ и по аргументу $L$. Доказывается, что $L$ непрерывна по этому аргументу. Пусть $[l(\theta),u(\theta)]$ — серединный интервал $L(\cdot\mid\theta)$. Доказывается, что функция $u$ (соответственно $l$) полунепрерывна сверху (соответственно снизу). Пусть в какой-либо точке $\theta_0$ $W(\theta_0)=\limsup u(\theta)$, при $\theta\downarrow\theta_0$ и $w(\theta_0)=\limsup l(\theta)$ при $\theta\uparrow\theta_0$. Доказывается, что $w(\theta)\le W(\theta)$, за исключением счетного числа значений $\theta$. В точке $\theta$, в которой последнее неравенство имеет место, для любых положительных $b$ и $c$ имеем
\begin{gather*} \lim\mathbf P\{-c<\sqrt n(\theta_n-0)<b\mid\theta\}\ge \\ \ge\lim\mathbf P\{-c+w(\theta)<\sqrt n(T_n-\theta)<W(\theta)+b\mid\theta\}. \end{gather*}
Если $u(\theta)=l(\theta)$, то тогда и $u(\theta)=W(\theta)=w(\theta)$.