A maximal theorem of Hardy–Littlewood type for pairwise i.i.d. and the law of large numbers

Пусть $p\in [1,2)$. Мы покажем, что если $(X_n)_{n=1}^\infty$ — последовательность попарно независимых одинаково распределенных случайных величин с $\mathbf{E}|X_1|^p<\infty$, то
$$ \mathbf{P}\biggl[\sup_n\biggl|\frac{S_n}{n^{1/p}}\biggr|> \alpha\biggr]\le \frac{C_p\,\mathbf{E}|X_1|^p}{\alpha^p}\quad\text{для любого } \alpha>0, $$
где $C_p$ – некоторая константа, зависящая от $p$, и $S_n:=\sum_{i=1}^n(X_i-\mathbf{E}X_i)$. При доказательстве мы воспользовались следствием более общего утверждения, в котором требовалось только, чтобы последовательность $(X_n)$ была слабо коррелирована в смысле Рио. Мы докажем неравенство, дающее скорость сходимости $\lim_{n\to\infty}|S_n|/{n^{{1}/{p}}}=0$ п.н., и таким образом усилим основной результат [E. Rio, “Vitesses de convergence dans la loi forte pour des suites dépendantes”, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 320:4 (1995), 469–474].