Эта публикация цитируется в
4 статьях
Большие уклонения для обрывающегося обобщенного процесса восстановления
Г. А. Бакай Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия
Аннотация:
Пусть случайные векторы
$(\xi(i),\eta(i))\in\mathbf{R}^{d+1}$,
$i\in\mathbf{N}$, являются независимыми и одинаково распределенными,
$\xi(i)\in \mathbf{R}^d$ — случайные векторы,
$\eta(i)$ — несобственные неотрицательные случайные величины,
$\mathbf{P}(\eta(i) = +\infty)\in(0,1)$. Предполагается, что распределение вектора
$(\xi(1),\eta(1))$ при условии
$\{\eta(1)<+\infty\}$ удовлетворяет условию Крамера.
Обрывающимся обобщенным процессом восстановления называем процесс
$Z_T=\sum_{k=1}^{N_T}\xi(k)$, где $N_T=\max\{k\in\mathbf{N}\colon \eta(1)+\dots+\eta(k)\le T\}$ — процесс восстановления, построенный по несобственным случайным величинам
$\eta(i)$. В работе найдены точные асимптотики вероятностей
$$
\mathbf{P}\bigl(Z_T\in I_{\Delta_T}(x)\bigr) \quad\text{и}\quad \mathbf{P}(Z_T = x)
$$
в нерешетчатом и сильно арифметическом случаях соответственно; здесь $I_{\Delta_T}(x)=\{y\in\mathbf{R}^d\colon x_j\le y_j < x_j+\Delta_T,\,j=1,\dots,d\}$ и
$\Delta_T$ — достаточно медленно стремящаяся к нулю положительная функция.
Ключевые слова:
обобщенный процесс восстановления, большие уклонения, условие Крамера, обрывающиеся процессы восстановления. Поступила в редакцию: 19.08.2019
Исправленный вариант: 12.06.2020
Принята в печать: 26.07.2020
DOI:
10.4213/tvp5342