Likelihood ratio processes under nonstandard settings

В статье показывается свойство локальной асимптотической нормальности (LAN) для криволинейных нормальных семейств и систем одновременных уравнений. Кроме того, показано, что односторонние случайные модели ANOVA не имеют свойства локальной асимптотической нормальности. Рассматриваются два случая, когда дисперсия случайного эффекта лежит внутри и на границе пространства параметров. В первом случае логарифм отношения правдоподобия сходится к $0$. Во втором случае логарифм отношения правдоподобия имеет нетипичные предельные распределения, которые зависят от нормировок, отвечающих контигуальным гипотезам. Порядки этих нормировок, соответствующие дисперсиям случайных эффектов и возмущений, могут быть равными или больше единицы соответственно, а порядок, соответствующий общему среднему, может быть равен или больше половины. Следовательно, мы не можем использовать обычную оптимальную теорию, основанную на свойстве локальной асимптотической нормальности. Между тем с помощью классической схемы Неймана–Пирсона показано, что тест, основанный на логарифме отношения правдоподобия, асимптотически самый мощный.