A trajectorial approach to the gradient flow properties of Langevin–Smoluchowski diffusions

В статье обсуждается вариационная характеризация консервативной диффузии как градиентного потока энтропии и дается ее вероятностная интерпретация с помощью анализа возмущений на основе стохастического исчисления. Р. Джорданом, Д. Киндерлерером и Ф. Отто было показано, что для диффузионных процессов типа Ланжевена–Смолуховского поток Фоккера–Планка вероятностных плотностей максимизирует скорость диссипации относительной энтропии, измеряемой расстоянием, пройденным в окружающем пространстве вероятностных мер с конечными вторыми моментами, в смысле квадратичной метрики Васерштейна. Мы получаем новые, основанные на стохастических процессах, версии этих свойств, справедливые вдоль почти каждой траектории диффузионного движения при обратном течении времени, непосредственно используя методологию теории возмущений. Усредняя наши траекторные результаты относительно меры на пространстве траекторий, мы устанавливаем максимальную скорость диссипации энтропии вдоль потока Фоккера–Планка и точно измеряем отклонение от этого максимума, соответствующее любому заданному возмущению. Как следствие нашего траекторного подхода мы выводим HWI-неравенство, связывающее относительную энтропию (H), расстояние Васерштейна (W) и относительную информацию Фишера (I).