Convergence rate for randomly weighted sums of random variables and its application

Пусть $\{X,\, X_n,\, n \ge 1\}$ — последовательность одинаково распределенных отрицательно супераддитивно зависимых случайных величин и $\{A_{ni},\, 1 \le i \le n,\, n \ge 1\}$ — схема серий, состоящая из отрицательно супераддитивно зависимых случайных весов. При практически оптимальных моментных условиях для любого $\varepsilon>0$ справедливо
$$ \sum_{n=1}^{\infty} n^{-1} \mathbf P \biggl( \max_{1\le m \le n} \biggl| \sum_{i=1}^m A_{ni}X_i \biggr| > \varepsilon n^{1/\alpha} \ln^{1/\gamma} n \biggr) < \infty, $$
где $0 < \gamma < \alpha \le 2$, и для всех $0 < q < \alpha$
$$ \sum_{n=1}^{\infty} n^{-1} \mathbf E \biggl( n^{-1/\alpha} \ln^{-1/\gamma} n \max_{1\le m \le n} \biggl| \sum_{i=1}^m A_{ni}X_i \biggr| - \varepsilon \biggr)_+^q < \infty. $$
Основные результаты расширяют и улучшают соответствующие известные результаты, полученные ранее. В качестве приложения представлен новый усиленный закон больших чисел для оценки случайного взвешенного выборочного среднего.