О близости распределений последовательных сумм в метрике Прохорова

Пусть $X, X_1,\dots, X_n,\dots$ — независимые одинаково распределенные $d$-мерные случайные векторы с общим распределением $F$. Пусть $F_{(n)}$ — распределение нормированного случайного вектора $X/\sqrt{n}$. Тогда $(X_1+\dots+X_n)/\sqrt{n}$ имеет распределение $F_{(n)}^n$ (степень понимается в смысле свертки). Пусть $\pi(\,{\cdot}\,,{\cdot}\,)$ — расстояние Прохорова. Основной результат состоит в следующем. Для любого $d$-мерного распределения $F$ существуют $c_1(F)>0$ и $c_2(F)>0$, зависящие только от $F$ и такие, что $\pi(F_{(n)}^n, F_{(n)}^{n+1})\leqslant c_1(F)/\sqrt n$ и $(F^n)\{A\} \le (F^{n+1})\{A^{c_2(F)}\}+c_2(F)/\sqrt{n}$, $(F^{n+1})\{A\} \leqslant (F^n)\{A^{c_2(F)}\}+c_2(F)/\sqrt{n}$ для любого борелевского множества $A$ и для всех натуральных чисел $n$ (здесь $A^{\varepsilon}$ обозначает $\varepsilon$-окрестность множества $A$).