Об оценках параметров процессов диффузионного типа: новый взгляд на последовательные оценки
А. А. Новиковab,
А. Н. Ширяевb,
Н. Е. Кордзахияc a University of Technology Sydney, Sydney, Australia
b Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия
c Macquarie University, Australia
Аннотация:
В работе изучаются свойства последовательных оценок параметров процессов диффузионного типа $\mathbf{X}=\{X_t,\, 0\leqslant t\leqslant \tau \}$, где
$\tau $ — момент остановки (это включает случай оценок с фиксированным размером выборки). Ранее некоторые теоретические результаты в этом направлении были изложены в монографии Р. Ш. Липцера и А. Н. Ширяева “Статистика случайных процессов” (2001 г.). При существенно менее ограничительных условиях мы выводим формулы для моментов оценки максимального правдоподобия (ОМП)
$\widehat{\lambda}_{\tau}$ для параметра
$\lambda$ коэффициента сноса, рассматриваемого в форме
$f_t(\lambda)=a_t-\lambda b_t$, а также указываем условия для экспоненциальной ограниченности распределения
$\widehat{\lambda}_{\tau}$. В приводимых примерах мы рассматриваем эргодический диффузионный процесс
$\mathbf X$ с коэффициентом диффузии
$\sigma_t=\sigma X_t^{\gamma}$. Мы также приводим ряд аналитических и численных результатов для смещения и среднеквадратической ошибки ОМП
$\widehat{\lambda}_{\tau}$ в случае процессов Орнштейна–Уленбека (O–U) и Кокса–Ингерсолла–Росса (CIR), когда
$\tau =T$ — фиксированный объем выборки и
$\tau =\tau_H$ — специально выбранный момент остановки, который гарантирует заданную величину
$1/H$ для дисперсии
$\widehat{\lambda}_{\tau_H}$.
Ключевые слова:
последовательные оценки параметров, процессы диффузионного типа, точные и асимптотические формулы для смещения и среднеквадратической ошибки оценок, экспоненциальная ограниченность распределений оценок, процессы Орнштейна–Уленбека и Кокса–Ингерсолла–Росса, метод замены меры.
Поступила в редакцию: 15.07.2024
DOI:
10.4213/tvp5734