Higher moments of randomly stopped sums

Пусть $\{x_n,\ n\ge1\}$ последовательность случайных величин, заданных на некотором вероятностном пространстве $(\Omega,\ \mathscr F,\ \mathbf P)$ и $\mathscr F$ — $\sigma$-алгебра $\omega$-множеств, порожденная $x_1,\dots,x_n$. Целочисленная случайная величина $t=t(\omega)$ называется моментом остановки, если для каждого $n\ge1$ $\{\omega\colon t=n\}\in\mathscr F_n$. Пусть далее $S_n=\sum^n_{i=1}x_i$ и $S_t=S_{t(\omega)}(\omega)$ — сумма случайного числа случайных величин. Основной результат работы (теорема 1) состоит в следующем: пусть $\{S_n,\ \mathscr F_n,\ n\ge1\}$ — мартингал и для некоторого положительного целого $m$ момент остановки $t=t(\omega)$ удовлетворяет условию
$$ \mathbf E\biggl\{t^{m-1}\sum_{i=1}^t\mathbf E[x_i^{2m}\mid\mathscr F_{i-1}]\biggr\}<\infty; $$
тогда $\mathbf ES_t^{2m}<\infty$ и для $\mathbf ES_t^{2m}$ справедлива формула (9). В случае независимых случайных величин $x_1,x_2,\dots$ этот результат можно переформулировать следующим образом (теорема 2): пусть $\mathbf Ex_n^j=\alpha_j$, $1\le j\le2m$, $\alpha_1=0$, $\mathbf Et^m<\infty$; тогда $\mathbf ES_t^{2m}<\infty$ и справедлива формула (15).