On a functional version of the convergence of a quadratic form in independent martingales to a $\chi^2$ distribution

Пусть $(a_{ij})_{i,j\ge 1}$ – такая бесконечная вещественная матрица, что $a_{ii}=0$ для любого $i\ge 1$, и пусть $(X^i)_{i\ge 1}$ – такая последовательность независимых мартингалов, что $\sup_{i\ge1}\mathsf{E}[(X_1^i)^4]<\infty$ и для каждого $i\ge 1$ предсказуемый компенсатор квадратичной вариации $X^i$ есть тождественная функция. В случае, когда $\sigma_n^2=\sum^n_{i,j=1}a^2_{ij}$ для каждого $n\ge 1$, дано необходимое и достаточное условие того, что процесс, определенный формулой $\sigma_n^{-1}\sum_{i<j\le n}a_{ij}X_t^iX^j_t$ для каждого $n\ge 1$ и $t\ge 1$, сходится по распределению к $((2\sqrt{p})^{-1}\sum_{i=1}^p((B_t^i)^2-t))_{t\le1}$, где $p\ge 1$ и $B^1,\dots,B^p$ есть $p$ независимых стандартных броуновских движений. Кроме того, рассмотрен случай, когда $(X^i)_{i\ge 1}$ есть последовательность независимых решений “структурного уравнения”.