О вероятности существования локализованного основного состояния для дискретного уравнения Шредингера со случайным потенциалом, возмущенного компактным оператором

В работе рассматривается следующая задача: при каких условиях на спектр оператора $H_d+\mathbf{W}$, где $H_d$ – разностный оператор Лапласа в $l_2(\mathbf{Z}^d)$ и $\mathbf{W}$ – дискретный потенциал (ограниченный диагональный оператор), полный гамильтониан $H_d+\mathbf{W}+\mathbf{V}(\omega)$ со случайным потенциалом $\mathbf{V}(\omega)$ имеет
(а) с положительной вероятностью,
(б) с вероятностью один
локализованное основное состояние? Доказано, что условие изолированности максимальной точки спектра оператора $H_d+\mathbf{W}$ от остальной его части является достаточным для (а) (если $\mathbf{W}$ компактен, то оно является и необходимым). Соответственно условие непревосходства длины случайного потенциала расстояния между максимальной точкой спектра оператора $H_d+\mathbf{W}$ и крайней правой точкой его существенного спектра является достаточным для выполнения (б). Показано, что если $\mathbf{W}$ оператор ранга 1, то это условие – также и необходимое.