Nonlinear estimation in anisotropic multiindex denoising. Sparse case

Известно, что в размерности 1 существует лишь два (не считая граничного случая) типа асимптотики минимаксного риска, определенного на классе Бесова. В зависимости от соотношения между параметрами класса и нормой, описывающей риск, различаются плотный и разреженный случаи.
В нашей недавней работе [5] в задаче оценивания на анизотропном классе Бесова мы для произвольной размерности $d\geqslant 1$ получили результаты, аналогичные плотному случаю при $d=1$. Настоящая работа посвящена той же проблематике, но уже для других соотношений между используемыми параметрами. В частности, открытым оставался вопрос о связи размерности и количества различных типов скоростей сходимости. Мы покажем, что ответ не зависит от размерности, т.е., как и в размерности 1, существует только два режима асимптотики минимаксного риска — плотный и разреженный, за исключением границы, где асимптотика (точная) пока не найдена.
Стоит заметить, что наша процедура оценивания допускает такой выбор параметров, при которых она является адаптивной с точностью до логарифмического множителя в плотном случае (см. [5]) и минимаксно адаптивной в разреженном случае. Интересно также, что в разреженном случае свойства вложения пространств являются фундаментальными.