Множества достижимости и обобщённая $H_2$-норма линейной дискретной дескрипторной системы

Рассматривается линейная дискретная дескрипторная система, не обладающая свойством причинности, на конечном горизонте при допустимых начальных условиях и возмущении ограниченной энергии, т.е. ограниченной $l2$-нормы. Вводится понятие обобщённой $H_2$-нормы как нормы линейного оператора, порождённого этой системой. Приводится метод вычисления обобщённой $H_2$-нормы с помощью решения разностных проекционных уравнений Ляпунова. Показано, что если сумма квадратичных форм начального и конечного состояний и суммы квадратичных форм возмущения на конечном интервале времени ограничена сверху заданной величиной, то множеством достижимости данной системы является изменяющийся во времени эллипсоид, матрица которого удовлетворяет разностному проекционному уравнению Ляпунова. Установлено, что обобщённая $H_2$-норма системы при ненулевых начальных условиях совпадает с величиной максимальной на заданном интервале времени полуоси эллипсоидального множества достижимости для данного выхода системы. В качестве иллюстрации полученных результатов приводится пример дескрипторной системы четвёртого порядка, для которой вычислена обобщённая $H_2$-норма и построены множества достижимости. Приводятся графики результатов численного моделирования и проекций множеств достижимости на плоскости, соответствующие прямой и обратной подсистемам.