Дискретные интегрируемые уравнения и специальные функции

На основе метода матричной задачи Римана предложена универсальная схема построения классических специальных функций, удовлетворяющих разностным уравнениям. К таким спецфункциям относятся гамма- и дзета-функции, ортогональные полиномы и другие классы функций с соотношениями рекурренции. Показано, что разностные уравнения для этих функций представляют собой условия совместности пар Лакса, возникающих из решений задачи Римана. При этом интегральные представления решений классической задачи Римана о сопряжении аналитических функций на контуре комплексной плоскости обобщены на случай дискретных мер, то есть на бесконечные последовательности точек на комплексной плоскости. Установлено, что такое обобщение позволяет обслужить ряд нелинейных разностных уравнений, обладающих свойством интегрируемости в смысле теории солитонов.
Решения указанных задач Римана позволяют воспроизвести аналитические свойства классических спецфункций, изложенные в справочниках, а также описать ряд новых функций, претендующих на роль специальных. К таковым, в частности, относятся разностные уравнения Пенлеве. Приведен пример применения разностного уравнения Пенлеве второго типа к задаче представления симметрической группы.