Аннотация:
Рассматривается модуль целых функций экспоненциального типа и полиномиального роста на вещественной оси (модуль Шварца) с неметризуемой
локально-выпуклой топологией. В связи с задачей спектрального синтеза для оператора дифференцирования в
пространстве $C^{\infty} (a;b)$ изучаются главные подмодули в этом модуле.
В частности, выясняется, какие еще функции, кроме произведений многочленов на порождающую функцию,
содержатся в главном подмодуле. Основной результат работы состоит в следующем: несмотря на то, что топология модуля Шварца не является метризуемой,
главный подмодуль совпадает с
секвенциальным замыканием множества произведений порождающей его функции на многочлены. В качестве одного из следствий основного результата
доказывается весовой критерий слабой локализуемости главного подмодуля.
Другое следствие относится к
недавно введенному А. Барановым и Ю. Беловым понятию «синтезируемой последовательности».
Из полученного этими авторами критерия синтезируемости последовательности
следует, что синтезируемая последовательность обязательно будет нулевым множеством слабо локализуемого главного подмодуля.
В настоящей работе дается положительный ответ на естественно возникающий вопрос о справедливости обратного утверждения.
А именно, доказывается, что нулевое множество слабо локализуемого главного подмодуля представляет собой синтезируемую последовательность.
Ключевые слова:
целые функции, преобразование Фурье–Лапласа, пространства Шварца, локальное описание подмодулей, спектральный синтез.