Об условии представления инвариантного относительно дифференцирования подпространства в пространстве Шварца в виде прямой суммы его резидуальной и экспоненциальной составляющих
Н. Ф. Абузярова Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32, 450076, г. Уфа, Россия
Аннотация:
В работе рассматривается пространство Шварца
$\mathcal E$ бесконечно дифференцируемых функций на вещественной прямой и его замкнутые подпространства, инвариантные относительно оператора дифференцирования. Известно, что каждое такое подпространство имеет, возможно тривиальные, экспоненциальную и резидуальную составляющие, которые определяются кратной последовательностью точек комплексной плоскости
$(-\mathrm{i}\Lambda)$ (спектром
$W$) и относительно замкнутым в
$\mathbb R$ промежутком
$I_W$ (резидуальным интервалом подпространства
$W$) соответственно. Из недавних исследований известно, что при определенных ограничениях на взаимное поведение
$\Lambda$ и
$I_W$, соответствующее инвариантное подпространство
$W$ восстанавливается по этим характеристикам однозначно (допускает спектральный синтез в слабом смысле). В случае, когда спектр
$(-\mathrm{i}\Lambda)$ — конечная последовательность, экспоненциальная составляющая подпространства
$W$ конечномерна, и само подпространство
$W$ есть алгебраическая сумма резидуального подпространства и конечномерной линейной оболочки множества экспоненциальных одночленов, содержащихся в
$W$. В случае бесконечного дискретного спектра нами были получены условия, при которых алгебраическая сумма резидуального и экспоненциального подпространств в
$W$ является замкнутой, а значит и прямой топологической суммой, совпадающей с самим
$W$. Эти условия общие, но не слишком удобные для непосредственной проверки. Здесь мы выводим из них наглядные, легко проверяемые условия на бесконечную последовательность
$\Lambda,$ при которых инвариантное подпространство
$W$ со спектром
$(-\mathrm{i}\Lambda)$ и резидуальным интервалом
$I_W$ является прямой алгебраической и топологической суммой своих экспоненциальной и резидуальной составляющих, то есть каждый элемент из
$W$ единственным образом представляется в виде суммы двух функций, одна из которых есть предел последовательности экспоненциальных одночленов в
$\mathcal E,$ а другая тождественно равна нулю на
$I_W.$
Ключевые слова:
инвариантное подпространство, спектральный синтез, целая функция, пространство Шварца.
УДК:
517.538.2 +
517.984.26 +
517.547
MSC: 30D15,
30E5,
42A38 Поступила в редакцию: 24.07.2021