Эта публикация цитируется в
6 статьях
Эта-инвариант для семейств с параметром и периодическими коэффициентами
К. Н. Жуйковa,
А. Ю. Савинab a Российский университет дружбы народов,
ул. Миклухо-Маклая, 6,
117198, г. Москва, Россия
b Leibniz Universität Hannover,
Welfengarten 1,
D - 30167 Hannover, Germany
Аннотация:
На гладком замкнутом многообразии рассматривается семейство операторов вида линейной комбинации псевдодифференциальных операторов с параметром с периодическими коэффициентами. Такие семейства возникают при исследовании нелокальных эллиптических задач на многообразиях с изолированными особенностями и/или с цилиндрическими концами. Цель работы — построить
$\eta$-инвариант для обратимых семейств и установить его свойства. Мы следуем подходу Мельроуза, который рассматривал
$\eta$-инвариант как обобщение числа вращения, равного интегралу от следа логарифмической производной семейства. При этом
$\eta$-инвариант Мельроуза равен регуляризованному интегралу регуляризованного следа логарифмической производной семейства. В нашей ситуации для регуляризации следа используется оператор разностного дифференцирования (вместо обычного дифференцирования у Мельроуза). Основным техническим результатом является тот факт, что оператор разностного дифференцирования осуществляет изоморфизм между пространствами функций с конормальной асимптотикой на бесконечности, что и позволяет определить регуляризованный след. Поскольку полученный регуляризованный след может возрастать на бесконечности, также вводится регуляризация для интеграла. Наша регуляризация интеграла включает операцию усреднения. Далее устанавливаются основные свойства
$\eta$-инварианта. А именно,
$\eta$-инвариант в смысле данной работы удовлетворяет логарифмическому свойству, а также является обобщением
$\eta$-инварианта Мельроуза, \linebreak т.е. совпадает с последним в случае обычных псевдодифференциальных операторов с параметром. Наконец, предъявляется формула для вариации
$\eta$-инварианта при изменении семейства.
Ключевые слова:
эллиптический оператор, оператор с параметром, эта-инвариант, разностное дифференцирование.
УДК:
515.168.5
MSC: Primary
58J28; Secondary
58J40 Поступила в редакцию: 21.04.2021