Универсальные неравенства в областях евклидова пространства и их применения

В областях евклидова пространства для пробных функций сконструированы и доказаны несколько новых интегральных неравенств типа Гальярдо-Ниренберга с явными константами. Эти неравенства справедливы в любой области, они являются нелинейными, подынтегральные функции содержат степени от модулей градиента и лапласиана пробной функции $u$, а также множители вида $f(|u(x)|)$, $f'(|u(x)|)$, где $f$ — непрерывно дифференцируемая, неубывающая функция, $f(0)=0$. В качестве весовых функций используются степени расстояния от точки до границы области, а также степени переменного гиперболического (конформного) радиуса.
Как применения универсальных неравенств типа Гальярдо-Ниренберга мы получаем новые интегральные неравенства типа Реллиха в плоских областях с равномерно совершенными границами. Для этих $L_p$-неравенств типа Реллиха установлены критерии положительности констант, получены явные двусторонние оценки этих констант в зависимости от евклидова максимального модуля области и от параметра $p\geq 2$. В доказательствах используются несколько числовых характеристик для областей с равномерно совершенными границами.