Одномерные $L_p$-неравенства типа Харди для специальных весовых функций и их применения

Мы устанавливаем одномерные $L_p$-неравенства Харди c дополнительными слагаемыми и применяем их для обоснования многомерных аналогов в выпуклых областях с конечным объемом. Получены вариационные неравенства со степенными весами, которые обобщают соответствующие утверждения, представленные ранее в статьях М. Хоффманн-Остенхоф, Т. Хоффманна-Остенхофа, А. Лаптева и Дж. Тидблома. Мы формулируем и доказываем неравенства, справедливые для произвольных областей, затем существенно упрощаем их для класса выпуклых областей. Константы в дополнительных слагаемых в этих пространственных неравенствах зависят от объема или диаметра области. Как следствие полученных результатов будем иметь оценки первого собственного числа для $p$-лапласиана при граничных условиях Дирихле.