Интегральные неравенства Харди, их прямые обобщения и родственные неравенства

Неравенства Харди имеют многочисленные применения в математической физике и спектральной теории неограниченных операторов. В статье описаны прямые обобщения интегральных неравенств Харди, их усиления и аналоги. Нами систематизированы связи между различными интерпретациями этих неравенств и описаны новые одномерные интегральные неравенства. Показано, что эти известные и новые неравенства справедливы и для комплекснозначных функций.
Подробно рассмотрены интегральные неравенства типа Харди, Реллиха и Бирмана для функций, заданных в конечных интервалах. В частности, мы приводим с доказательством обобщения и усиления интегральных неравенств Бирмана для высших производных. Кратко обсуждаем многомерные аналоги, содержащие интегралы от степеней модуля градиента функции или полигармонического оператора.