Эта публикация цитируется в
1 статье
Прямые и обратные теоремы теории приближений в пространствах Лебега с весами Макенхаупта
О. Л. Виноградов Санкт-Петербургский государственный университет, Университетская наб., 7/9, 199034, Санкт-Петербург, Россия
Аннотация:
В работе устанавливаются прямые и обратные теоремы теории приближений в пространствах Лебега
$L_{p,w}$ с весами Макенхаупта
$w$ на оси и на периоде. Классическое определение модуля непрерывности может не иметь смысла в весовых пространствах. Поэтому в качестве модулей непрерывности, в том числе нецелого порядка, используются нормы степеней отклонений средних Стеклова. Выводятся свойства этих величин, часть которых аналогична свойствам обычных модулей непрерывности. В добавление к прямым и обратным теоремам получены соотношения эквивалентности между модулями непрерывности и
$K$ и
$R$-функционалами.
Доказательства основаны на оценках норм сверточных операторов и не используют максимальную функцию. Это позволяет установить результаты при всех
$p\in[1,+\infty)$, не исключая случай
$p=1$. Применявшиеся ранее методы, использовавшие в том или ином виде максимальную функцию, непригодны при
$p\to1$. Кроме того, подход на основе сверток позволяет получить результаты одновременно в периодическом и непериодическом случае. Константы за редким исключением не указываются явно, но всегда контролируется их зависимость от параметров. Все константы в оценках зависят от
$[w]_p$ (характеристики Макенхаупта веса
$w$), а иная зависимость от
$w$ и
$p$ отсутствует. Нормы сверточных операторов оценены в терминах
$[w]_p$ явно. Методы данной работы могут быть применены к доказательству прямых и обратных теорем в более общих функциональных пространствах.
Ключевые слова:
наилучшие приближения, модули непрерывности, веса Макенхаупта, свертка.
УДК:
517.5
MSC: 41A17,
42A10 Поступила в редакцию: 06.06.2023