Преобразования Бореля функций из параметризованного семейства гильбертовых пространств

Рассматриваются гильбертовы пространства целых функций
\begin{equation*} P_\beta (D)=\left \{F\in H(\mathbb{C}):\ \|F\|^2:=\int\limits_0^{2\pi }\int\limits_0^\infty \frac {|F(re^{i\varphi })|^2drd\Delta (\varphi )}{K(re^{i\varphi })r^{2\beta }}<\infty \right \}, \end{equation*}
где $D$ — ограниченная выпуклая область на комплексной плоскости,
\begin{align*} &K(\lambda )=\|e^{\lambda z}\|^2_{L_2(D)}=\int _D|e^{\lambda z}|^2dm(z),\quad \lambda \in \mathbb C, \\ &h(\varphi)=\max _{z\in \overline D} \mathrm{Re}\, ze^{i\varphi },\quad \varphi \in [0;2\pi ], \\ &\Delta (\varphi )=h(\varphi )+\int _{0}^\varphi h(\theta )d\theta ,\quad \varphi \in [0;2\pi ]. \end{align*}
Интерес к этим пространствам вызван тем, что $P_0(D)$ — это пространство преобразований Лапласа линейных непрерывных функционалов на пространстве Бергмана $B_2(D)$, а $P_{\frac 12}(D)$ — пространство преобразований Лапласа линейных непрерывных функционалов на пространстве Смирнова $E_2(D)$. В статье для параметров $\beta \in \left (-\frac 12;\frac 32\right )$ дано полное описание пространств преобразований Бореля функций из пространств $P_\beta (D)$. Таким образом, пространства Бергмана и Смирнова вкладываются в шкалу гильбертовых пространств, что, по мнению авторов, должно позволить применить теорию гильбертовых шкал для исследования задач в этих пространствах.