Построение (4–ε)-мерной теории для плотности состояний неупорядоченной системы вблизи перехода Андерсона

Вычисление плотности состояний для уравнения Шредингера с гауссовым случайным потенциалом сводится к задаче о фазовом переходе второго рода с "неправильным" знаком коэффициента при члене четвертой степени в гамильтониане Гинзбурга–Ландау. Выделенность для такого гамильтониана размерности пространства d=4 может быть обнаружена с различных точек зрения, но наиболее фундаментальным образом она связана с соображениями перенормируемости. Попытка построения ε -разложения в прямой аналогии с теорией фазовых переходов приводит к проблеме "ложного" полюса, для решения которой требуется корректный учет факториальной расходимости ряда теории возмущений. Использование упрощений, возникающих в высоких размерностях, для построения (4–ε)-мерной теории требует последовательного рассмотрения четырех типов теорий: неперенормируемых теорий при d>4, неперенормируемых и перенормируемых теорий в условиях логарифмической ситуации (d = 4), суперперенормируемых теорий при d<4. Для каждого типа теории выяснена структура приближения, необходимого для получения асимптотически точных результатов во всей области энергий, включая окрестность порога подвижности. В (4–ε)-мерной теории при N ≈ 1 (N — порядок теории возмущений) учитываются лишь старшие степени 1/ ε, а при больших N — и все низшие степени этого параметра, что необходимо ввиду быстрого роста по N их коэффициентов. Последние коэффициенты вычисляются в главной асимптотике по N из условия перенормируемости теории в форме уравнения Каллана–Симанчика с использованием асимптотики Липатова в качестве граничных условий. Показано, что происходит смещение точки фазового перехода с действительной оси в комплексную плоскость, которое приводит к обходу "ложного" полюса и регулярности плотности состояний при всех энергиях. Обсуждаются методы вычисления высоких порядков теории возмущений и перспективы использования метода ε -разложения для исследования кинетических свойств вблизи перехода Андерсона.