Статистика редких событий и модулярная инвариантность

Приведены простые, основанные на построении “сада Евклида”, геометрические аргументы, объясняющие тождественность разного рода распределений, возникающих как результат статистики редких событий. В частности, обсуждаются теоретико-числовые свойства спектральной плотности ансамбля экспоненциально взвешенных линейных полимерных цепей. Показано, что статистика собственных значений соответствующих матриц смежности в разрежённом режиме имеет специальную иерархическую структуру, описываемую так называемой функцией попкорна (функцией Томи), которая является разрывной на плотном множестве рациональных чисел. Кроме того, на границах спектра распределение плотности имеет хвосты Лифшица, типичные для андерсоновской локализации в одномерном пространстве. Предложена регуляризация функции попкорна, основанная на голоморфной $\eta$-функции Дедекинда, и показано, что иерархическая ультраметрическая структура распределений типа попкорна связана с внутренней ${\rm SL}(2,Z)$-модулярной симметрией.