Ренормгрупповые симметрии для решений нелинейных краевых задач

Метод ренормгрупповых симметрий в краевых задачах классической математической физики появился около 10 лет назад в результате развития представлений функциональной автомодельности и квантово-полевой ренормализационной группы Боголюбова, рассматриваемой как группа Ли, т.е. группа непрерывных преобразований. В квантовой теории поля метод ренормализационной группы является неотъемлемым ингредиентом подавляющей части практических вычислений. Он составил теоретический фундамент открытия феномена асимптотической свободы сильных ядерных взаимодействий и лежит в основе сценария Великого объединения взаимодействий. В этой статье, основанной на материале лекций, прочитанных на XIII Школе по нелинейным волнам (Нижний Новгород, 1–7 марта 2006 г.) (В. Ф. Ковалев, Д. В. Ширков “Ренормгрупповые симметрии в краевых задачах”, в сб. Нелинейные волны 2006 (Под ред. А. В. Гапонова-Грехова) (Н. Новгород: ИПФ РАН, 2007) с. 433), излагаются логическая схема нового алгоритма, основанного на современной теории групп преобразований, а также наиболее интересные результаты, полученные методом ренормгрупповых симметрий в задачах, формулируемых с помощью дифференциальных и интегральных уравнений и использующих линейные функционалы от решений. Приложения алгоритма демонстрируются примерами из нелинейной оптики, кинетической теории и динамики плазмы, в которых его использование позволило найти новые аналитические решения задач нелинейной физики. Эти решения дали возможность описать структуру особенности при самофокусировке пучка в нелинейной среде, изучить генерацию гармоник из слабонеоднородной плазмы и исследовать энергетические спектры ускоренных ионов при разлете плазменных сгустков.