On convergence of the Fourier double series with respect to the Vilenkin systems

Пусть $\{W_{k}(x)\}_{k=0}^{\infty}$ – система Виленкина неограниченного или ограниченного типа. Тогда для каждого $0<\varepsilon<1$ существуют измеримое множество $E\subset[0,1)^{2}$ с мерой $|E|>1-\varepsilon$ и подмножество $\Gamma$ натуральных чисел плотностью $1$ такое, что для каждой $f(x,y)\in L^{1}(E)$ можно найти функцию $g(x,y)\in L^{1}[0,1)^{2}$ такую, чтобы удовлетворялись следующие условия: $g(x,y)=f(x,y)$ на $E$; ненулевые члены последовательности $\{|c_{k,s}(g)|\}$ монотонно убывают по всем направлениям, где $c_{k,s}(g)=\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1}g(x,y)\overline{{W}_{k}}(x)\overline{W_{s}}(y)dxdy$; $\displaystyle\lim_{R\in \Gamma,\ R\rightarrow\infty}S_{R}((x,y),g)=g(x,y)$ почти всюду на $[0,1)^2$, где $S_{R}((x,y),g)=\sum\limits_{k^{2}+s^{2}\leq R^{2}}c_{k,s}(g)W_{k}(x)W_{s}(y)$.