Coverings of solenoids and automorphisms of semigroup $C^*$-algebras

В статье рассматриваются конечнолистные накрывающие отображения $P$-адических соленоидов и предельные эндоморфизмы полугрупповых $C^*$-алгебр. Цель нашего изложения двояка. Во-первых, это представление результатов, касающихся таких отображений и эндоморфизмов. Во-вторых, мы демонстрируем доказательства некоторых из них. Показывается, что каждое накрывающее отображение соленоида изоморфно отображению возведения в степень. Мы обсуждаем динамические свойства накрывающих отображений. Отображение возведения в степень для $P$-адического соленоида является топологически транзитивным. Дается критерий хаотичности накрывающего отображения. Классическая теорема Ферма–Эйлера может быть использована для его доказательства. Далее мы рассматриваем предельные эндоморфизмы $C^*$-алгебр, порожденных изометрическими представлениями полугрупп рациональных чисел. В теоретико-числовых, алгебраических и функциональных терминах нами формулируются критерии того, что предельные эндоморфизмы будут автоморфизмами. С теоретико-категорной точки зрения дается доказательство необходимости условия в таком критерии.