Ultraproducts of von Neumann algebras and ergodicity

Ультрапроизведение произвольных линейных пространств по некоторому нетривиальному ультрафильтру в индексном множестве есть ни что иное, как обобщение нестандартного расширения $^{*}\mathbb{R} $ множества действительных чисел $\mathbb{R}$. Нестандартный математический анализ имеет свои объекты и методы исследования, которые лишь в определённой степени зависят от законов стандартного математического анализа.
В работе «нестандартные» объекты — ультрапроизведения алгебр фон Неймана — изучаются с точки зрения стандартного анализа. Такой подход позволяет, в частности, получить критерий «контигульности» последовательностей точных нормальных состояний в терминах «эквивалентности» состояний на соответствующих ультрапроизведениях.
Известно, что классическое ультрапроизведение алгебр фон Неймана, вообще говоря, не является алгеброй фон Неймана, поэтому мы рассматриваем специальную конструкцию ультрапроизведений алгебр фон Неймана, следуя работам А. Окненеу. Мы вводим понятие эргодического относительно некоторой группы преобразований состояния на алгебре фон Неймана и изучаем его свойства. Рассмотрено ультрапроизведение таких состояний и приведены их свойства. В частности, приведён пример, показывающий, что ультрапроизведение эргодических состояний не является, вообще говоря, эргодическим.