A Cauchy integral method to solve the 2D Dirichlet and Neumann problems for irregular simply-connected domains

Предлагается способ построения непрерывного приближенного решения двумерных задач Дирихле и Неймана в произвольной односвязной области с гладкой границей. Построение численных решений задачи Дирихле в произвольной области связано либо с трудностями построения адекватных разностных схем (метод конечных разностей), либо с трудностями дискретизации такой области (метод конечных элементов).
В работе решение задачи Дирихле сводится к решению линейного интегрального уравнения. При этом, в отличие от решения Фредгольма, используется не логарифмический потенциал двойного слоя, а свойства граничных значений интеграла Коши. Приближенное решение интегрального уравнения ищется в виде полинома Фурье, для нахождения коэффициентов которого решается система линейных уравнений.
Предлагаемое непрерывное решение задачи Дирихле представляет собой реальную часть интеграла Коши, взятого по границе области. Значения решения вблизи границы области получаются с помощью аналитического продолжения значений интеграла Коши, представленного в виде ряда Тейлора для внутренних точек. Сравнение полученных приближенных решений задачи Дирихле с точными решениями в примерах демонстрируют ошибку, меньшую, чем $10^{-5}$. Решение задачи Неймана сводится к решению задачи Дирихле для сопряженной гармонической функции. Сравнение полученных приближенных решений задачи Неймана с точными решениями в примерах демонстрируют ошибку, меньшую, чем $10^{-4}$.