A low-rank approximation of tensors and the topological group structure of invertible matrices

Под тензором понимается элемент тензорного произведения векторных пространств над некоторым полем. С точностью до выбора базисов в множителях тензорных произведений каждый тензор может быть снабжен координатами, то есть представлен в виде массива, состоящего из чисел. Статья посвящена свойствам тензорного ранга, который является естественным обобщением понятия матричного ранга. Существенную роль в изучении играет топологическая группа обратимых матриц. Полилинейное матричное умножение обсуждается с точки зрения групп преобразований. Рассматривается вопрос об аппроксимации тензорами малого ранга в конечномерных тензорных произведениях. Показывается, что задача о наилучшем приближении тензорами ранга $n$ не имеет решения в пространстве тензоров размера $n\times n \times 2$. С этой целью используется аппроксимацию матрицами с простыми спектрами.